Question

如图，已知：抛物线y=x²+bx-3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA=OC．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的形状，并说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M的坐标（无需写出解题步骤）．

Answer 1

分析：（1）首先抛物线y=x²+bx-3与y轴相交于点C，求得C点的坐标为（0，-3）．再根据OA=OC及图象求得A点的坐标值．再将A点的坐标值代入抛物线y=x²+bx-3，求得b的值，那么这条抛物线的解析式即可确定．
（2）要判断△CDE的形状，首先要得到线段ED、CD、EC的长．因而必须求得点E、D、C的坐标值．再根据CE∥x轴，即可知E点的纵坐标等于C点的纵坐标，根据抛物线的解析式求得E点的横坐标．求D点将抛物线写为顶点式，即可确定．
（3）由（2）知△CDE是等腰直角三角形，因而点M到直线CD的距离等于ED的长，则MD=

2

ED，点D的坐标值为定值，因而点M的坐标值也就确定．

解答：解：（1）当x=0时，得y=-3，
∴C（0，-3），
∵OA=OC，
∴OA=3，即得A（-3，0）．（1分）
由点A在抛物线y=x²+bx-3上，
得9-3b-3=0．解得b=2．（1分）
∴所求抛物线的解析式是y=x²+2x-3．（1分）

（2）由CE∥x轴，C（0，-3），可设点E（m，-3）．
由点E在抛物线y=x²+2x-3上，
得m²+2m-3=-3．
解得m₁=-2，m₂=0．
∴E（-2，-3）．（1分）
又∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴顶点D（-1，-4）．（1分）
∵CD=

(-1-0)2+(-4+3)2

=

2

，ED=

(-1+2)2+(-4+3)2

=

2

，
CE=2，
∴CD=ED，且CD²+ED²=CE²．
∴△CDE是等腰直角三角形．（3分）

（3）M₁（-1，-2），M₂（-1，-6）．（（3分），其中只写出一个得2分）

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意这个特殊的等腰直角三角形CDE、△MCD边与坐标间的关系．