Question

已知二次函数的图象经过点A（1，0）且与直线y=x+3相交于B、C两点，点B在x轴上，点C在y轴上．
（1）求二次函数的解析式及函数的顶点坐标
（2）如果P（ x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求△PAB的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围．

Answer 1

解：（1）设所求函数是y=ax²+bx+c，则
当x=0时，y=3，当y=0时，x=-4，
故二次函数经过点A（1，0），B（-4，0），C（0，3），
把此三点代入函数可得
，
解得
，
故函数解析式是y=-x²-x+3；
（2）∵点P在BC上，故y=x+3，
即△PAB的高就是y，
那么S_△PAB=AB×y=×5×（x+3）=x+（-4≤x≤1）．
分析：（1）先设所求函数是y=ax²+bx+c，由于二次函数易一次函数的交于点B和C，且点B在x轴上，点C在y轴上，结合一次函数解析式，易求B、C，再把A、B、C三点坐标代入二次函数中，得到关于abc的三元一次方程组，解即可求二次函数解析式；
（2）由于P点在BC上，故知△PAB的高就是一次函数中的y，结合三角形的面积公式易求△PAB的面积，进而可求x的取值范围．
点评：本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的性质、三角形的面积，解题的关键是先求出函数解析式，并能画出图形，理解BC就是一次函数上的一部分．