[题目]如图,已知抛物线上最高点坐标为(-1,4),且抛物线经过点B(1,0)(1)求此抛物线的解析式;(2)设抛物线与X轴另一个交点为A.交Y轴于点C.请在抛物线的对称轴上找一点P.使△PBC周长最小.并求出点P的坐标,(3)点M是抛物线对称轴上一动点,点N是抛物线上一动点(不与点A.B重合).试问:是否存在点M.N.使得以点A.B.M.N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M.N� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图,已知抛物线上最高点坐标为（-1,4）,且抛物线经过点B（1,0）

(1)求此抛物线的解析式;

(2)设抛物线与X轴另一个交点为A，交Y轴于点C，请在抛物线的对称轴上找一点P，使△PBC周长最小，并求出点P的坐标；

(3)点M是抛物线对称轴上一动点,点N是抛物线上一动点（不与点A，B重合），试问：是否存在点M，N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M、N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】（1）y=-x2-2x+3(2)P（-1，2）（3）N(3, -12)，M（-1，-12）或N(-5, -12)，M（-1，-12）或N（-1，4），M（-1，-4）

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，把B（1,0）代入即可求出a，再化为一般式即可求解；

（2）根据A，B是对称点，连接AC交对称轴于P，此时△PBC周长最小，求出AC直线解析式，再求出P点坐标即可；

（3）分AB是平行四边形的边和对角线分别作图，根据图形的特点即可求解．

（1）∵抛物线上最高点坐标为（-1,4）,

∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，

把B（1,0）代入得0=4a+4

解得a=-1

∴y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3

(2)如图，∵A,B关于对称轴x=-1对称,连接AC交对称轴于P点，△PBC周长=BC+PC+PB=BC+PC+AP=BC+AC,

此时△PBC的周长最小，

令y=0,即-x2-2x+3=0

解得x1=1，x2=-3

∴A（-3，0）

令x=0,即y=-x2-2x+3=3

∴C（0，3）

设直线AC的解析式为：y=kx+b

把A（-3，0），C（0，3）代入得

解得

∴直线AC的解析式为：y=x+3

令x=-1

解得y=2

∴P（-1，2）

（3）如图，当AB是平行四边形的一边时，

设N(x, -x2-2x+3)，则M（-1，-x2-2x+3）

由AB==1-(-3)=4，得

解得x=3或x=-5

故N(3, -12)，M（-1，-12）或N(-5, -12)，M（-1，-12）

如图，当AB是平行四边形的对角线时，设MN,AB交于Q点，

则M,N在对角线x=-1上，MQ=NQ=4

故N（-1，4），M（-1，-4）

综上，存在N(3, -12)，M（-1，-12）或N(-5, -12)，M（-1，-12）或N（-1，4），M（-1，-4）使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

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