Question

已知：如图，圆O′为△ABC之内切圆，圆O′为△ABC之外接圆．
求证：AD=CD=OD．

Answer 1

证明：∵圆O′为△ABC之内切圆，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠2=∠5，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，
∴=，
∴AD=CD，
∵∠AOD=∠3+∠1，
∴∠AOD=∠OAD，
∴AD=OD，
∴AD=CD=OD．
分析：根据内心的定义以及圆周角定理可以证得∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，根据弧、弦、圆心角的关系可以证得AD=CD，然后根据等角对等边可以证得AD=OD，即可证得结论．
点评：本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质定理，以及等角对等边，正确证明∠1=∠2=∠3=∠4=∠5是关键．