Question

如图(1)，在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB＝90°，OA＝6，AB＝5，cos∠OAB＝．

小题1:写出顶点A、B、C的坐标；
小题2:如图(2)，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M，N．设PM＝x，四边形OMPN的面积为y．
①求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②是否存在一点P，使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

小题1:A(6，0)，B(3，4)，C(0，4)
小题2:①  0<x<4 ②存在P点(，2)

（1）点A的坐标，由图可直接得出；求出BC、OC的长，即可得到点B、C的坐标；
（2）①PM=x，由图得，0＜x＜4，由cos∠OAB=3/5，得到MA=3/4x，由矩形的面积，可求出y与x之间的函数关系式；
②根据S_矩形OMPN=1/2S_梯形OABC可得到一点；
解 答：
（1）由图得，A（6，0），B（3，4），C（0，4），
做BD⊥OA，所以，BD=OC，BC=OD；
由OA=6，AB=5，cos∠OAB=3/5得，
AD=3，BD=4，
即，BC=3，OC=4；
故坐标为：A（6，0），B（3，4），C（0，4）；
（2）①∵设PM=x，由图得，0＜x＜4，
则，AM=3/4x，
所以，y=（6-3/4x）x，
整理得，y=-3/4x²+6x；
故y与x之间的函数关系式是：y=-3/4x²+6x（0＜x＜4）；
②由-3/4x²+6x=1/2×[（3+6）×4÷2]整理得，
x²-8x+12=0，
解得，x₁=2，x₂=6（舍去），
OM=6-2×3/4=9/2，
故点P的坐标为（9/2，2）。