Question

已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线上的一个动点，求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标．

Answer 1

解：（1）直线y=-x+3与坐标轴的两个交点坐标分别是
A（3，0），B（0，3），
抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，
c=3
-9+3b+c=0，
得到b=2，c=3，
∴抛物线的解析式y=-x²+2x+3．

（2）①作经过点D与直线y=-x+3平行的直线交抛物线于点M．

则S_△ABM=S_△ABD，
直线DM的解析式为y=-x+t．
由抛物线解析式y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
得D（1，4），
∴t=5．
设M（m，-m+5），
则有-m+5=-m²+2m+3，
解得m=1（舍去），m=2．
∴M（2，3）．
②易求直线DM关于直线y=-x+3对称的直线l的解析式为y=-x+1，l交抛物线于M．
设M（m，-m+1）．
由于点M在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-m+1=-m²+2m+3．
解得m=，m=
∴M（，-）或M（，）
∴使△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标分别是
（2，3），（，-），（，）．
分析：（1）先根据直线y=-x+3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值．
（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标，由于△ABM和△ABD同底，因此面积比等于高的比，即M点纵坐标的绝对值：D点纵坐标的绝对值=5：4．据此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出M点的坐标．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、图形面积的求法等知识点．考查了学生数形结合的数学思想方法．