Question

【题目】在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；

（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，）或P（，）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）∵A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化得到△BCD，∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°，∴C（1，1）．

设经过A、B、C三点的抛物线解析式，则有，∴，∴抛物线解析式为；

（2）如图1所示，设直线PC与AB交于点E．∵直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，∴或，过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA，∴△BEF∽△BAO，∴，∴当时，，∴EF=，BF=，∴E（，），∴直线PC解析式为，∴，∴，（舍去），∴P（，）；

当时，同理可得，P（，）．

（3）设△ABO平移的距离为t，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分的面积为S．

由平移得，A1B1的解析式为y=2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为（，0）．

C1B2的解析式为，C1B2与y轴交点坐标为（0，）．

①如图2所示，当时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为四边形．

设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ．

由由，得，∴Q（，），∴=，∴S的最大值为．

②如图3所示，当时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为直角三角形．

设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G，∴G（1﹣2t，4﹣5t），∴D1H=，D1G=4﹣5t，∴S=D1H×D1G=，∴当时，S的最大值为．

综上所述，在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值为．