Question

3．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°
（1）如果DC=10，BC=11，AB=12，NM垂直平分AD于M，交BC于N，求MN的长；
（2）探究：如果AB+CD=2BC，M仍为AD的垂直平分线且交BC于N，MN与AD是否相等？若相等，请证明，若不相等，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作DE垂直AB于E，连接DN、AN，先证明四边形EBCD是矩形，得出AE=AB-DC=2，DE=BC=11，AD=5$\sqrt{5}$，由线段垂直平分线的性质和勾股定理求出CN、BN，得出AN，再由勾股定理求出MN即可；
（2）取CB中点P，连接MP，作DE⊥AB交AB于E，证出MP是梯形ABCD的中位线，得出MP∥DC，由AAS证明△ADE≌△MNP，得出对应边相等即可．

解答 解：（1）作DE垂直AB于E，连接DN、AN，如图所示：
∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，
∴四边形ABCD是直角梯形，
∵DE⊥AB，
∴四边形EBCD是矩形，
∴AE=AB-DC=12-10=2，DE=BC=11，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{1}^{2}+{2}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵MN垂直平分AD于M，
∴DN=AN，AM=DM=$\frac{AD}{2}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：DN²=CN²+10²，AN²=BN²+12²，
∵DN=AN
∴CN²+10²=BN²+12²，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{C{N}^{2}+1{0}^{2}=B{N}^{2}+1{2}^{2}}\\{CN+BN=11}\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{CN=7.5}\\{BN=3.5}\end{array}\right.$，
∴AN=DN=12.5
∵MN²=AN²-AM²
∴MN=$\sqrt{12．{5}^{2}-（\frac{5\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{156.25-31.25}$=5$\sqrt{5}$；
（2）MN=AD；理由如下：
取CB中点P，连接MP，作DE⊥AB交AB于E，如图2所示：
则DE=BC，
∵M、P分别是AD、CB的中点，
∴MP是梯形ABCD的中位线，
∴MP∥DC，AB+CD=2MP，
∴∠MPN=90°=∠DEA，
∵∠BAD+∠ADC=180°，
∠MNP+∠ADC=180°，
∴∠MNP=∠BAD，
又∵AB+CD=2BC，BC=DE，
∴MP=DE，
在Rt△ADE与Rt△MNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPN=∠AED=90°}\\{∠MNP=∠EAD}\\{DE=MP}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MNP（AAS），
∴MN=AD．

点评 本题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形中位线定理等知识；本题综合性强，有一定难度．