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    已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
    （1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．
    （2）如图1，求AF的长．
    （3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
    ①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．
    ②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
    分析：（1）证△AEO≌△CFO，推出OE=OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；
    （2）设AF=CF=a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；
    （3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P在AB上，根据平行四边形的性质求出即可．
    解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
    ∴AD∥BC，
    ∴∠AEO=∠CFO，
    ∵AC的垂直平分线EF，
    ∴AO=OC，AC⊥EF，
    在△AEO和△CFO中
    ∵
    ∠AEO=∠CFO
    ∠AOE=∠COF
    AO=OC
    ，
    ∴△AEO≌△CFO（AAS），
    ∴OE=OF，
    ∵OA=OC，
    ∴四边形AECF是平行四边形，
    ∵AC⊥EF，
    ∴平行四边形AECF是菱形；

    （2）解：设AF=acm，
    ∵四边形AECF是菱形，
    ∴AF=CF=acm，
    ∵BC=8cm，
    ∴BF=（8-a）cm，
    在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8-a）2=a2，
    a=5，
    即AF=5cm；

    （3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，
    只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，
    P点运动的时间是：（5+3）÷1=8，
    Q的速度是：4÷8=0.5，
    即Q的速度是0.5cm/s；
    ②分为三种情况：第一、P在AF上，
    ∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，
    ∴Q只能再CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；
    第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，
    ∵AQ=8-（0.8t-4），CP=5+（t-5），
    ∴8-（0.8t-4）=5+（t-5），
    t=
    20
    3
    ，
    第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；
    即t=
    20
    3
    ．
    点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质等知识点的综合运用，用了方程思想，分类讨论思想．
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    1
    3
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    1
    4
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    1
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