Question

（2010•北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4．求∠B的度数及AC的长．

Answer 1

【答案】分析：解法一：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足，把梯形转换成矩形和两个直角三角形，首先利用梯形的性质和已知条件证明Rt△AFB≌Rt△DGC，然后在Rt△AFB中解直角三角形即可求出所求线段；
解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E，把梯形的问题转换成平行四边形和等边三角形，然后利用等边三角形的性质和三角函数的定义即可求出所求线段．
解答：解：解法一：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足，
∴∠AFB=∠DGC=90°，AF∥DG，
∵AD∥BC，
∴四边形AFGD是矩形．
∴AF=DG，
∵AB=DC，
∴Rt△AFB≌Rt△DGC．
∴BF=CG，
∵AD=2，BC=4，
∴BF=1，
在Rt△AFB中，
∵cosB==，
∴∠B=60°，
∵BF=1，
∴AF=，
∵FC=3，
由勾股定理，
得AC=2，
∴∠B=60°，AC=2．

解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形．
∴AD=EC，AE=DC，
∵AB=DC=AD=2，BC=4，
∴AE=BE=EC=AB，
即AB=BE=AE，AE=CE，
∴△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°=∠AEB，∠EAC=∠ACE=∠AEB=30°，
∴∠BAC=60°+30°=90°，∠B=60°．
在Rt△ABC中，
AC=ABtan∠B=AB•tan60°=2，
∴∠B=60°，AC=2．
点评：此题主要考查了梯形的常用辅助线：作梯形的高和平移腰，把梯形的问题转换成直角三角形或等边三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识和等边三角形的性质解决问题．