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10.如图,四边形ABCD和ACED都是平行四边形,B,C,E在一条直线上,点R为DE的中点,BR分别交AC,CD于点P,Q.
(1)则图中相似三角形(相似比为1除外)共有3对;
(2)求线段BP:PQ:QR,并说明理由.

分析 此题的图形比较复杂,需要仔细分析图形.
(1)根据平行四边形的性质,可得到角相等.∠BPC=∠BRE,∠BCP=∠E,可得△BCP∽△BER;
(2)根据AB∥CD、AC∥DE,可得出△PCQ∽△PAB,△PCQ∽△RDQ,△PAB∽△RDQ.根据相似三角形的性质,对应边成比例即可得出所求线段的比例关系.

解答 解:(1)∵四边形ACED是平行四边形,
∴∠BPC=∠BRE,∠BCP=∠E,
∴△BCP∽△BER;
同理可得∠CDE=∠ACD,∠PQC=∠DQR,
∴△PCQ∽△RDQ;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAP=∠PCQ,
∵∠APB=∠CPQ,
∴△PCQ∽△PAB;
∵△PCQ∽△RDQ,△PCQ∽△PAB,
∴△PAB∽△RDQ.
综上所述,图中相似三角形(相似比为1除外)共有4对.
故答案是:4.

(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,
∴BC=AD=CE,
∵AC∥DE,
∴BC:CE=BP:PR,
∴BP=PR,
∴PC是△BER的中位线,
∴BP=PR,$\frac{PC}{RE}$=$\frac{1}{2}$,
又∵PC∥DR,
∴△PCQ∽△RDQ.
又∵点R是DE中点,
∴DR=RE.
$\frac{PQ}{QR}$=$\frac{PC}{DR}$=$\frac{PC}{RE}$=$\frac{1}{2}$,
∴QR=2PQ.
又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ,
∴BP:PQ:QR=3:1:2.

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质:①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.

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