Question

【题目】在△OAB，△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°.

（1）若O、C、A在一条直线上，连AD、BC，分别取AD、BC的中点M、N如图（1），求出线段MN、AC之间的数量关系；

（2）若将△OCD绕O旋转到如图（2）的位置，连AD、BC，取BC的中点M，请探究线段OM、AD之间的关系，并证明你的结论；

（3）若将△OCD由图（1）的位置绕O顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），且OA=4，OC=2，是否存在角度α使得OC⊥BC？若存在，请直接写出此时△ABC的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）MN=AC．（2）OM=AD，OM⊥AD．详见解析；（3）6+2或6﹣2．

【解析】

（1）如图1中，作BH⊥OB，AH⊥OA，连接OM延长OM交BH于P，连接ON延长ON交AH于Q，连接PQ．只要证明MN是△OPQ的中位线，AC=HQ=HP即可解决问题；

（2）结论：OM=AD，OM⊥AD．如图2中，延长OM到H，使得MH=OM，设AD交OH于G，交OB于K．想办法证明△OBH≌△AOD即可解决问题；

（3）分两种情形①如图3中，当OC⊥BC设，作CH⊥OAY于H．S△ABC=S△AOB-S△AOC-S△BOC计算即可；

（1）如图1中，作BH⊥OB，AH⊥OA，连接OM延长OM交BH于P，连接ON延长ON交AH于Q，连接PQ．

∵OA=OB，∠AOB=∠OAH=∠OBH=90°，

∴四边形OAHB是正方形，

∵CM=MB，

∴OM=MB，

∴∠MBO=∠MOB，

∵∠MBO+∠MBP=90°，∠MOB+∠MPB=90°，

∴∠MBP=∠MPB，

∴BM=PM=OM，

同理可证ON=NQ，

∴MN=PQ，

∵MC=MB，MO=MP，∠CMO=∠PMB，

∴△CMO≌△BMP，

∴PB=OC，同理可证AQ=OD，

∵OC=OD，

∴AQ=PB=OC=OD，

∵OA=OB=AH=BH，

∴AC=BD=PH=QH，

∵PQ=PH=AC，

∴MN=AC．

（2）结论：OM=AD，OM⊥AD．

理由：如图2中，延长OM到H，使得MH=OM，设AD交OH于G，交OB于K．

∵CM=BM，∠CMO=∠BMH，OM=MH，

∴△CMO≌△BMH，

∴OC=BH=OD，∠COM=∠H，

∴OC∥BH，

∴∠OBH+∠COB=180°，

∵∠AOD+∠COB=180°，

∴∠OBH=∠AOD，

∵OB=OA，

∴△OBH≌△AOD，

∴AD=OH，∠OAD=∠BOH，

∵∠OAD+∠AKO=90°，

∴∠BOH+∠AKO=90°，

∴∠OGK=90°，

∴AD⊥OH，

∴OM=AD，OM⊥AD．

（3）①如图3中，当OC⊥BC设，作CH⊥OAY于H．

∵∠OCB=90°，OB=2OC，

∴∠OBC=30°，∠OCB=60°，∠COH=30°，

∴CH=OC=1，BC=OC=2，

∴S△ABC=S△AOB﹣S△AOC﹣S△BOC=6﹣2．

②如图4中，作CH⊥AO于H．

易知∠BOC=60°，∠COH=30°，可得CH=1，BC=2，

∴S△ABC=S△AOB+S△BOC﹣S△AOC=6+2，

综上所述，△ABC的面积为6+2或6﹣2．