Question

25、分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）²+x（1+x）³，并根据你发现的规律直接写出多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）^n-1分解因式的结果．

Answer 1

分析：通过逐次提取公因式1+x，使1+x+x（1+x）+x（1+x）²+x（1+x）³实现因式分解．再根据上面的因式分解结果与已知式，寻找规律．

解答：解：1+x+x（1+x）+x（1+x）²+x（1+x）³，
=（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）²]，（2分）
=（1+x）{（1+x）[1+x+x（1+x）]}，（4分）
=（1+x）²[（1+x）（1+x）]，（6分）
=（1+x）⁴，（8分）
1+x+x（1+x）+x（1+x）²++x（1+x）^n-1=（1+x）ⁿ．（10分）

点评：本题考查因式分解的应用，解决本题的关键是采用提取公因式法因式分解．