Question

如图所示，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推
（1）填写下表：

层次	1	2	3	4	5	6
该层对应的点数
所有层的总点数

（2）写出第n层所对应的点数；
（3）写出六边形的点阵共有n层时的总点数；
（4）如果六边形的点阵共有n层时的总点数为397，你知道共有多少层吗？

Answer 1

解：第一层上的点数为1；
第二层上的点数为6=1×6；
第三层上的点数为6+6=2×6；
第四层上的点数为6+6+6=3×6；
…
第n层上的点数为（n-1）×6．
所以n层六边形点阵的总点数为
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2
=1+6×
=1+3n（n-1）
（1）填表如下：

层次	1	2	3	4	5	6
该层对应的点数	1	6	12	18	24	30
所有层的总点数	1	7	19	37	61	91

（2）根据分析可得第n层的点数之和为6（n-1）；
（3）根据分析可得共有n层时的点数之和为1+3n（n-1）；
（4）根据题意得：
1+3n（n-1）=397．
n（n-1）=132；
（n-12）（n+11）=0
n=12或-11．
故n=12，
答：共有12层．
分析：根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6-6=6（个）点，第三层有3×6-6=12（个）点，推而广之即可求解．然后根据得到的通项公式求出相应题目的解即可．
点评：本题考查了图形的变化类问题，主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．