Question

如图，已知正方形ABCD的边长为5，且∠EAF=45°，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，落在△ADG的位置．
（1）请在图中画出△ADG；
（2）证明：∠GAF=45°；
（3）求点A到EF的距离AH．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB=AD，∠BAD=90°，得到△ABE绕点A逆时针旋转90°，AB与AD重合，DG在CG的延长线上，且DG=BE，即可画出△ADG；
（2）根据旋转的性质，得∠EAG=∠BAD=90°，而∠EAF=45°，所以∠GAF=∠EAG-∠EAF=45°；
（3）由△ABE绕点A逆时针旋转90°后得到△ADG，得到AE=AG，易证△GAF≌△EAF，则AH=AD，即可得到点A到EF的距离AH．
解答：解：（1）∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴△ABE绕点A逆时针旋转90°，AB与AD重合，DG在CG的延长线上，
如图，画出△ADG；

（2）在正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∵△ABE绕点A逆时针旋转90°后得到△ADG，
∴∠EAG=∠BAD=90°，
又∵∠EAF=45°
∴∠GAF=∠EAG-∠EAF=45°；

（3）∵△ABE绕点A逆时针旋转90°后得到△ADG
∴AE=AG，
又∵∠EAF=∠GAF=45°，AF=AF
∴△GAF≌△EAF，
又∵AD和AH分别是△GAF和△EAF的对应高
∴AH=AD=5，
即A到EF的距离AH为5．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．