Question

10．已知二次函数y=ax²-4ax+a²+2（a＜0）图象的顶点G在直线AB上，其中
A（-$\frac{3}{2}$，0）、B（0，3），对称轴与x轴交于点E．
（1）求二次函数y=ax²-4ax+a²+2的关系式；
（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积，求点P坐标；
（3）在x轴上方，是否存在整数m，使得当$\frac{m+2}{3}$＜x≤$\frac{2m+5}{2}$时，抛物线y随x增大而增大？若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的关系式，利用配方法可找出抛物线顶点G的坐标为（2，a²-4a+2），根据一次函数图象上点的坐标即可求出a值，将a值代入二次函数关系式中即可得出结论；
（2）设点P的坐标为（t，-t²+4t+3），根据2S_△AEP=S_{四边形GAEP}，即可得出关于t的一元二次方程，解之取大于2的值，将其再代入点P的坐标中即可得出结论；
（3）将y=0代入二次函数关系式中可求出点C、D的坐标，利用二次函数的性质结合$\frac{m+2}{3}$＜x≤$\frac{2m+5}{2}$时抛物线y随x增大而增大，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，找去其内的整数，再根据$\frac{m+2}{3}$＜$\frac{2m+5}{2}$即可确定m的值．

解答 解（1）设直线AB的关系式为y=kx+b，
将点A（-$\frac{3}{2}$，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的关系式为y=2x+3．
∵抛物线y=ax²-4ax+a²+2=a（x-2）²+a²-4a+2，
∴点G（2，a²-4a+2）．
∵点G在直线AB上，
∴a²-4a+2=4+3=7，
∴a=-1，a=5（舍去），
∴二次函数关系式为y=-x²+4x+3．

（2）∵AP平分四边形GAEP的面积，
∴2S_△AEP=S_{四边形GAEP}．
设点P的坐标为（t，-t²+4t+3），
∴2×$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{3}{2}$）（-t²+4t+3）=$\frac{1}{2}$×7×（2+$\frac{3}{2}$）+$\frac{1}{2}$×7×（t-2），
整理得：2t²-6 t-3=0，
解得：t₁=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$（舍去），
∴点P的坐标为（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，6+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

（3）当y=-x²+4x+3=0时，x₁=2-$\sqrt{7}$，x₂=2+$\sqrt{7}$，
∴抛物线与x轴交点C（2-$\sqrt{7}$，0），D（2+$\sqrt{7}$，0）．
∵在x轴上方，抛物线y随x增大而增大，
∴2-$\sqrt{7}$＜x≤2．
又∵$\frac{m+2}{3}$＜x≤$\frac{2m+5}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+2}{3}≥2-\sqrt{7}}\\{\frac{2m+5}{2}≤2}\end{array}\right.$，
解得：4-3$\sqrt{7}$≤m≤-$\frac{1}{2}$．
∵整数m为整数，
∴m为-3，-2、-1．
又∵$\frac{m+2}{3}$＜$\frac{2m+5}{2}$，
∴m＞-$\frac{11}{4}$，
∴m取-2、-1．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的三种形式、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点以及三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征找出关于a的一元二次方程；（2）根据AP平分四边形GAEP的面积，找出关于t的一元二次方程；（3）根据二次函数的性质结合函数图象，找出关于m的一元一次不等式组．