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如图(1),在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,-2),点B的坐标为(3,-1),二次函数的图象为.

(1)平移抛物线,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的抛物线的一个解析式(任写一个即可).

(2)平移抛物线,使平移后的抛物线过A、B两点,记抛物线为,如图(2),求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标.

(3)设P为y轴上一点,且,求点P的坐标.

(4)请在图(2)上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q,使为等腰三角形. 若存在,请判断点Q共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明理由.

                                             


(1)等 (满足条件即可)                  

(2)设的解析式为,联立方程组

解得:,则的解析式为,                

点C的坐标为()                                            

(3)如答图25-1,过点A、B、C三点分别作x轴的垂线,垂足分别为D、E、F,则.

得:.                         

延长BA交y轴于点G,直线AB的解析式为,则点G的坐标为(0,),设点P的坐标为(0,

①当点P位于点G的下方时,,连结AP、BP,则,又,得,点P的坐标为(0,).            

②当点P位于点G的上方时,,同理,点P的坐标为(0,).

综上所述所求点P的坐标为(0,)或(0,)                 

(4) 作图痕迹如答图25-2所示.

由图可知,满足条件的点有,共4个可能的位置


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