Question

如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数的图象为.

（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.

（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图（2），求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标.

（3）设P为y轴上一点，且，求点P的坐标.

（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使为等腰三角形. 若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.

                                             

Answer 1

（1）等 （满足条件即可）                  

（2）设的解析式为，联立方程组，

解得：，则的解析式为，                

点C的坐标为（）                                            

（3）如答图25-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则，，，，，.

得：.                         

延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，）

①当点P位于点G的下方时，，连结AP、BP，则，又，得，点P的坐标为（0，）.            

②当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为（0，）.

综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，）                 

(4) 作图痕迹如答图25-2所示.

由图可知，满足条件的点有、、、，共4个可能的位置