Question

16．在△ABC中，∠A=90，AB=2，AC=4，O是AC的中点且当⊙O与边BC只有一个公共点时，⊙O的半径R的取值范围是R=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2＜R≤2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出BC=2$\sqrt{5}$，再利用面积法计算出AD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，当R=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2＜R≤2$\sqrt{2}$时，⊙O与边BC只有一个公共点．

解答 解：如图，过A作AD⊥BC于D，OE⊥BC于E，连接BO，
∴AD∥OE，
∵∠A=90°，AB=2，AC=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=2，∵AD∥OE，
∴OE=$\frac{1}{2}AD$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=AO=2，
∴BO=2$\sqrt{2}$，
∴当R=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2＜R≤2$\sqrt{2}$时，⊙O与边BC只有一个公共点，
∴⊙O的半径R的取值范围是：R=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2＜R≤2$\sqrt{2}$．
故答案为：R=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2＜R≤2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．