在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-3时,求反比例函数的解析式;
(2)在(1)的条件下,在第四象限中,x为何值,反比例函数小于二次函数?
(3)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增小,求k应满足的条件以及x的取值范围.
【答案】
分析:(1)根据k的值确定点A的坐标,然后设反比例函数解析式为y=
,利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可;
(2)写出反比例函数图象在二次函数图象下方的部分的x的取值范围即可;
(3)根据反比例函数的增减性确定出k的取值范围,再根据二次函数的增减性求出x在对称轴左边的部分的取值范围即可.
解答:解:(1)当k=-3时,A(1,-3),
∵A在反比例函数图象上,
∴设反比例函数的解析式为:y=
,
代入A(1,-3)得:
=-3,
解得:m=-3,
故反比例函数的解析式为:y=-
;
(2)由图可知当0<x<1时,反比例函数小于二次函数;
(3)∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增小,
∴k>0,
∵二次函数y=k(x
2+x-1)=k(x+
)
2-
k的对称轴为:直线x=-
,
∴要使二次函数y=k(x
2+x-1)满足上述条件,在k>0的情况下,x必须在对称轴的左边,
即x≤-
时,才能使得y随着x的增大而增小,
综上所述,k<0且x≤-
.
点评:本题考查了二次函数与不等组组的关系,待定系数法求反比例函数解析式,以及反比例函数与二次函数的增减性,难度不大,(2)作出图形更形象直观.