Question

已知抛物线y＝－x²＋2mxm²m＋2．

　　（1）判断抛物线的顶点与直线L：y＝-x＋2的位置关系；

　　（2）设该抛物线与x轴交于M、N两点，当OM?ON＝4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式；

（3）直线L交x轴于点A，（2）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线，得顶点坐标为

（m，-m＋2），　　显然满足y＝-x＋2

∴　抛物线的顶点在直线L上．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）设M（，0），N（，0），且．　由OM?ON＝4，，OM≠ON，得．

 ∵　，  ∴　．

当时， ，

当时，＜0，此方程无解　　　　

　∵　△₁＝(2m)－4(m＋m－2)＝－4m＋8＝－4m＋8>0．　∴　m＜2．

故取m＝-3．　

则抛物线的解析式为．　　

　（3）抛物线的对称轴为x＝-3，顶点（-3，5）．

　依题意，∠CAB＝∠ACB＝45°．

若点P在x轴的上方，设（-3，a）（a＞0），则点到直线L的距离为a（如图），　∴　△是等腰直角三角形．

　∴　，．　∴　，5．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

　若点P在x轴的下方，设（-3，-b）（b＞0），　则点到直线L的距离为b（如图），同理可得△为等腰直角三角形，

∴　，．　∴　，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　∴　满足条件的点有两个，即（-3，）和（-3，）．