Question

如图（Ⅰ），在平面直角坐标系中，⊙O′是以点O′（2，-2）为圆心，半径为2的圆，⊙O″是以点O″（0，4）为圆心，半径为2的圆．
（1）将⊙O′竖直向上平移2个单位，得到⊙O₁，将⊙O″水平向左平移1个单位，得到⊙O₂如图（Ⅱ），分别求出⊙O₁和⊙O₂的圆心坐标．
（2）两圆平移后，⊙O₂与y轴交于A、B两点，过A、B两点分别作⊙O₂的切线，交x轴与C、D两点，求△O₂AC和△O₂BD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据“左减右加，下减上加”的规律对点O′，O″的坐标进行平移即可得到点O₁，O₂的坐标；
（2）先求出点A、B的坐标，然后连接O₂A，O₂B，根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半得出∠O₂AB=∠O₂BA=30°，又AC与BD是圆的切线，然后求出∠OAC=∠OBD=60°，利用特殊角的三角函数与点A，B的坐标即可求出AC、BD的长，最后代入三角形的面积公式进行计算即可．

解答：解：（1）∵-2+2=0，
∴点O₁的坐标为：（2，0），
∵0-1=-1，
∴点O₂的坐标为：（-1，4）；


（2）如图，连接O₂A，O₂B，∵⊙O₂的半径为2，圆心O₂到y轴的距离是1，
∴∠O₂AB=∠O₂BA=30°，
∴AB=2×2cos30°=2

3

，
∴点A、B的坐标分别为A（0，4-

3

），B（0，4+

3

），
∵AC，BD都是⊙O₂的切线，
∴∠OAC=180°-90°-30°=60°，
∠OBD=90°-30°=60°，
∴AC=（4-

3

）÷cos60°=8-2

3

，
BD=（4+

3

）÷cos60°=8+2

3

，
∴S_△O2AC=

1

2

×AC×O₂A=

1

2

×（8-2

3

）×2=8-2

3

，
S_△O2BD=

1

2

×BD×O₂B=

1

2

×（8+2

3

）×2=8+2

3

．
故答案为：8-2

3

，8+2

3

．

点评：本题主要考查了切线的性质与坐标的平移，利用数据的特点求出30度角是解题的关键，也是解答本题的难点与突破口，本题难度适中，有一定的综合性．