Question

12．如图，?ABCD中，AB=8，AD=10，sinA=$\frac{4}{5}$，E、F分别是边AB、BC上动点（点E不与A、B重合），且∠EDF=∠DAB，DF延长线交射线AB于G．
（1）若DE⊥AB时，求DE的长度；
（2）设AE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△BGF为等腰三角形时，求AE的长度．

Answer 1

分析 （1）DE⊥AB时，根据sinA=$\frac{DE}{AD}$即可解决问题．
（2）如图2中，作DM⊥AB于M，根据DG²=DM²+MG²=AG•EG，列出等式即可解决问题．
（3）分三种情形①BF=BG，②FB=FG，③GB=GF，根据BF∥AD，得出比例式，列方程即可解决．

解答 解：（1）如图1中，

∵DE⊥AB，
∴sinA=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{4}{5}$，
∵AD=10，
∴DE=8．
（2）如图2中，

作DM⊥AB于M，由（1）可知DM=8，AM=6，MG=AB-AM=8-6=2，
∴DG²=DM²+MG²，
∵∠DGE=∠DGA，∠GDE=∠A，
∴△DGE∽△AGD，
∴$\frac{DG}{AG}$=$\frac{EG}{DG}$，
∴DG²=AG•EG，
∴DM²+MG²=AG•EG，
∴8²+（2+y）²=（8+y）（8+y-x），
∴y=$\frac{4+8x}{12-x}$（0＜x＜8）
（3）①当BF=FG时，∵BF∥AD，
∴$\frac{BF}{AD}$=$\frac{BG}{AG}$，
∴AD=AG=10，
∴y=2，即$\frac{4+8x}{12-x}$=2，解得x=2，
∴AE=2．
②当FB=FG时，∵BF∥AD，
∴$\frac{BF}{AD}$=$\frac{FG}{DG}$，
∴AD=DG=10，
∵DM⊥AG，
∴AM=MB=6，
∴AG=12，
∴y=4，即$\frac{4+8x}{12-x}$=4，
解得x=$\frac{11}{3}$．
③当GB=GF时，∵BF∥AD，∠GBF=∠BFG，
∴∠A=∠GBF，∠ADG=∠BFG，
∴∠A=∠ADG，
∵∠A=∠EDG，
∴∠EDG=∠ADG，
∴此时点E与点A重合，不合题意．
综上所述AE=2或$\frac{11}{3}$时，△BFG是等腰三角形．

点评 本题考查四边形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．