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15.已知n为整数,证明代数式$\frac{1}{4}$n4-$\frac{1}{2}$n3+$\frac{1}{4}$n2的值一定为整数.

分析 先将原代数式因式分解,然后根据连续整数的积是偶数,可得$\frac{n(n-1)}{2}$是整数,从而解决问题.

解答 证明:$\frac{1}{4}$n4-$\frac{1}{2}$n3+$\frac{1}{4}$n2
=$\frac{1}{4}$n2(n2-2n+1),
=$\frac{1}{4}$n2(n-1)2
=[$\frac{n(n-1)}{2}$]2
∵n为整数,
∴n-1与n为连续整数,
∴n(n-1)是偶数,
∴$\frac{n(n-1)}{2}$是整数,
∴代数式$\frac{1}{4}$n4-$\frac{1}{2}$n3+$\frac{1}{4}$n2的值一定为整数.

点评 本题考查的是因式分解的应用,在解决问题的过程中,用到了“连续整数的积是偶数”这个结论,是解决本题的关键.

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