Question

【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线交x轴于点A(l,0)、B(3,0),交y轴于点C.

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点P为对称轴右侧第四象限抛物线上一点,连接PA并延长交y轴于点K,点P横坐标为t,△PCK的面积为S,求S与t的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围）；

(3)如图3,在(2)的条件下,过点A作AD⊥AP交y轴于点D.连接OP,过点O作OE⊥OP交AD延长线于点E,当OE=OP时,延长EA交抛物线于点Q,点M在直线EC上,连接QM,交AB于点H，将射线QM绕点Q逆时针旋转45°,得到射线QN交AB于点F,交直线EC于点N,若AH:HF=3:5,求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）过点P作PG⊥x轴于点G，PS⊥y轴于点S，求出CK、PS的值即可解决问题；

（3）首先确定点Q（2，1），AT=BT=1，推出∠AQB=90°，过点A作AU⊥x轴 并截取AU=BF，连接QU，由△QAU≌△QBF，推出∠AQU=∠BQF，推出QF=QU，∠HQU=∠HQF=45°，QH=QH，推出△QUH≌△QHF，推出UH=HF，设AH=3k，则HF=5k．在Rt△AUH中，AU=3k，推出AH：HF：FB=3：5：4推出AH=HT=，TF=tan∠HQT= tan∠FQT=，设EC直线解析式为y=kx+b 过点E（﹣3，﹣4），点C（0，﹣3），所求解析式为y=x﹣3，过点M作MV⊥QV 过点N作NL⊥QV于点L 设点M（x， ﹣3），由tan∠HQT== 可得x=0，点M（0，﹣3）与点C重合，设点N（n， n﹣3），tan∠FQT==解得n=3，可得==；

试题解析：解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线解析式得： ，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x﹣3；

（2）过点P作PG⊥x轴于点G，PS⊥y轴于点S，

AG=t﹣1 GP=t2﹣4t+3．在Rt△PAG中，tan∠PAG===t﹣3．在Rt△AKO中，tan∠KAO===t﹣3，OK=t﹣3，∴CK=t﹣3+3=t，∴S=CKPS=t2（t＞3）．

（3）过点E作ER⊥x轴于点R．∵OE⊥OP，∠REO=∠POG，OE=OP，∠ERO=∠OGP，∴△OER≌△POG，∴OG=ER=t，OR=PG=t2﹣4t+3，AR=t2﹣4t+4，∠REA=∠PAG，tan∠REA==，tan∠REA=tan∠PAG， =t﹣3，解得：t=4，∴点E（﹣3，﹣4）点P（4，﹣3），CP∥OG AR=ER=4，∴∠EAR=∠QAB=45°，过点Q作QT⊥x轴于点T，并延长CP于点V，连接QB，设点Q（m，﹣m2+4m﹣3），由QT=span>AT 可得﹣m2+4m﹣3=m﹣1，解得m=1或2，∴点Q（2，1），AT=BT=1，∴∠AQB=90°，过点A作AU⊥x轴 并截取AU=BF，连接QU，∠QAU=∠QBT=45°，QA=QB，∴△QAU≌△QBF，∴∠AQU=∠BQF，∴QF=QU，∠HQU=∠HQF=45°，QH=QH，∴△QUH≌△QHF，∴UH=HF，设AH=3k，则HF=5k．在Rt△AUH中，AU=3k，∴AH：HF：FB=3：5：4，∴AH=HT=，TF=tan∠HQT= tan∠FQT=，设EC直线解析式为y=kx+b 过点E（﹣3，﹣4），点C（0，﹣3），所求解析式为y=x﹣3，过点M作MV⊥QV 过点N作NL⊥QV于点L 设点M（x， ﹣3），由tan∠HQT==，可得x=0，点M（0，﹣3）与点C重合，设点N（n， n﹣3），tan∠FQT==，解得：n=3，∴==．