【题目】已知二次函数().
(1)求出二次函数图象的对称轴;
(2)若该二次函数的图象经过点,且整数,满足,求二次函数的表达式;
(3)对于该二次函数图象上的两点,,设,当时,均有,请结合图象,直接写出的取值范围.
【答案】(1)x=2;(2)或或;(3).
【解析】
(1)二次函数图象的对称轴是;
(2)代入点,求出a,b之间的关系,分情况讨论,解不等式求出a;
(3)画出函数大致图象和B点和B点关于对称轴对称的点,根据图可知当A点介于-1和5之间时,,据此可求得的取值范围.
解:(1)二次函数图象的对称轴是.
(2)该二次函数的图象经过点,
∴,∴,
把代入,
得.
当时,,则.
而为整数,∴,则,
∴二次函数的表达式为;
当时,,则.
而为整数,∴或,
则对应的或,
∴二次函数的表达式为或.
(3)如下图,当a>0时,函数开口向下,对称轴为,
过对称轴取点的对称点,
∵,
∴,
要使,
则,即
解得.
如下图,当a<0时,不存在时,均有的情况.
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【题目】如图,已知一个三角形纸片,其中,分别是边上的点,连接.
(1)如图,若将纸片的一角沿折叠,折叠后点落在边上的点处,且使S四边形ECBF,求的长;
(2)如图,若将纸片的一角沿折叠,折叠后点落在边上的点处,且使.试判断四边形的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,C是的一定点,D是弦AB上的一定点,P是弦CB上的一动点.连接DP,将线段PD绕点P顺时针旋转得到线段.射线与交于点Q.已知,设P,C两点间的距离为xcm,P,D两点间的距离,P,Q两点的距离为.
小石根据学习函数的经验,分别对函数,,随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是小石的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了,,与x的几组对应值:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
/cm | 4.29 | 3.33 | 1.65 | 1.22 | 1.0 | 2.24 | |
/cm | 0.88 | 2.84 | 3.57 | 4.04 | 4.17 | 3.20 | 0.98 |
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数据所对应的点,,并画出函数,的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:连接DQ,当△DPQ为等腰三角形时,PC的长度约为_____cm.(结果保留一位小数)
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【题目】如图,在中,(圆心在内部)经过两点,交线段于点直径交于点点关于直线的对称点落在上.连结.
求证:.
在圆心的运动过程中,
若,求的长.
若点关于的对称点落在边上时,求的值.(直接写出答案)
令与边的另一个交点为,连结交于点若,垂足为点求证:.
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【题目】已知:△ABC与△ABD中,∠CAB=∠DBA=β,且∠ADB+∠ACB=180°.
提出问题:如图1,当∠ADB=∠ACB=90°时,求证:AD=BC;
类比探究:如图2,当∠ADB≠∠ACB时,AD=BC是否还成立?并说明理由.
综合运用:如图3,当β=18°,BC=1,且AB⊥BC时,求AC的长.
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【题目】4月23日为世界阅读日,为响应党中央“倡导全民阅读,建设书香会”的号召,某校团委组织了一次全校学生参加的“读书活动”大赛为了解本次赛的成绩,校团委随机抽取了部分学生的成绩(成绩取整数,总分100分)作为本进行统计,制成如下不完整的统计图表(频数频率分布表和频数分布直方图):
成绩(分) | 频数(人) | 频率 |
10 | 0.05 | |
30 | 0.15 | |
40 | ||
0.35 | ||
50 | 0.25 |
根据所给信息,解答下列问题:
(1)抽取的样本容量是 ; , ;
(2)补全频数分布直方图;这200名学生成绩的中位数会落在 分数段;
(3)全校有1200名学生参加比赛,若得分为90分及以上为优秀,请你估计全校参加比赛成绩优秀的学生人数.
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【题目】某体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行一分钟跳绳的测试,并对成绩进行统计分析,绘制了频数分布表和统计图,请你根据图表中的信息完成下列问题:
分组 | 频数 | 频率 |
第一组(0≤x<120) | 3 | 0.15 |
第二组(120≤x<160) | 8 | a |
第三组(160≤x<200) | 7 | 0.35 |
第四组(200≤x<240) | b | 0.1 |
(1)频数分布表中a=____,b=_____,并将统计图补充完整;
(2)如果该校九年级共有学生360人,估计跳绳能够一分钟完成160或160次以上的学生有多少人?
(3)已知第一组中有两个甲班学生,第四组中只有一个甲班学生,老师随机从这两个组中各选一名学生谈测试体会,则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少?
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【题目】如图1,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为边,在△OAB
外作等边△OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;
(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
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