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9.如图,AC是⊙O的直径,OB是⊙O的半径,PA切⊙O于点A,PB与AC的延长线交于点M,∠COB=∠APB.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)当OB=3,PA=6时,求MB,MC的长.

分析 (1)根据切线的性质,可得∠MAP=90°,根据直角三角形的性质,可得∠P+M=90°,根据余角的性质,可得∠M+∠MOB=90°,根据直角三角形的判定,可得∠MOB=90°,根据切线的判定,可得答案;
(2)根据相似三角形的判定与性质,可得$\frac{MB}{AM}$=$\frac{OB}{AP}$=$\frac{OM}{PB}$,根据解方程组,可得答案.

解答 (1)证明:∵PA切⊙O于点A,
∴∠MAP=90°,
∴∠P+∠M=90°.
∵∠COB=∠APB,
∴∠M+∠MOB=90°,
∴∠MBO=90°,即OB⊥PB,
∵PB经过直径的外端点,
∴PB是⊙O的切线;
(2)∵∠COB=∠APB,∠OBM=∠PAM,
∴△OBM∽△APM,
∴$\frac{MB}{AM}$=$\frac{OB}{AP}$=$\frac{OM}{PM}$,
$\frac{MB}{MC+6}$=$\frac{1}{2}$  ①,
$\frac{MC+3}{MB+6}$=$\frac{1}{2}$   ②
联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{2MB=MC+6}\\{2MC+6=MB+6}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{MC=2}\\{MB=4}\end{array}\right.$,
当OB=3,PA=6时,MB=4,MC=2.

点评 本题考查了切线的判定与性质,(1)利用了切线的判定与性质,直角三角形的判定与性质,余角的性质;(2)利用了相似三角形的判定与性质,解方程组.

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