Question

8．如图1，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S_△AMO：S_{四边形AONB}=1：48．
（1）求直线AB和直线BC的解析式；
（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BH的值最小，求点H的坐标和GH+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BH的最小值；
（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据S_△AMO：S_{四边形AONB}=1：48，求出三角形相似的相似比为1：7，从而求出BN，继而求出点B的坐标，用待定系数法求出直线解析式．
（2）先判断出PE×PF最大时，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大时G（5，$\frac{7}{2}$），再简单的计算即可；
（3）由平移的特点及坐标系中，两点间的距离公式得A′C′²=8，A′K²=5m²-18m+18，C′K²=5m²-22m+26，最后分三种情况计算即可．

解答 解：（1）∵点C是二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1图象的顶点，
∴C（2，-1），
∵AO⊥x轴，BN⊥x轴，
∴△MAO∽△MBN，
∵S_△AMO：S_{四边形AONB}=1：48，
∴S_△AMO：S_△BMN=1：49，
∴OA：BN=1：7，
∵OA=1
∴BN=7，
把y=7代入二次函数解析式y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1中，可得7=$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
∴x₁=-2（舍），x₂=6
∴B（6，7），
∵A的坐标为（0，1），
∴直线AB解析式为y=x+1，
∵C（2，-1），B（6，7），
∴直线BC解析式为y=2x-5．
（2）如图1，

设点P（x₀，x₀+1），
∴D（$\frac{{x}_{0}+6}{2}$，x₀+1），
∴PE=x₀+1，PD=3-$\frac{1}{2}$x₀，
∵∠DPF固定不变，
∴PF：PD的值固定，
∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，
PE×PD=（x₀+1）（3-$\frac{1}{2}$x₀）=-$\frac{1}{2}$x₀²+$\frac{5}{2}$x₀+3，
∴当x₀=$\frac{5}{2}$时，PE×PD最大，
即：PE×PF最大．此时G（5，$\frac{7}{2}$）
∵△MNB是等腰直角三角形，
过B作x轴的平行线，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$BH=B₁H，
GH+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BH的最小值转化为求GH+HB₁的最小值，
∴当GH和HB₁在一条直线上时，GH+HB₁的值最小，
此时H（5，6），最小值为7-$\frac{7}{2}$=$\frac{7}{2}$
（3）令直线BC与x轴交于点I，
∴I（$\frac{5}{2}$，0）
∴IN=$\frac{7}{2}$，IN：BN=1：2，
∴沿直线BC平移时，横坐标平移m时，纵坐标则平移2m，平移后A′（m，1+2m），C′（2+m，-1+2m），
∴A′C′²=8，A′K²=5m²-18m+18，C′K²=5m²-22m+26，
当∠A′KC′=90°时，A′K²+KC′²=A′C′²，解得m=$\frac{10±\sqrt{10}}{5}$，此时t=$\sqrt{5}$m=2$\sqrt{5}$±$\sqrt{2}$；
当∠KC′A′=90°时，KC′²+A′C′²=A′K²，解得m=4，此时t=$\sqrt{5}$m=4$\sqrt{5}$；
当∠KA′C′=90°时，A′C′²+A′K²=KC′²，解得m=0，此时t=0．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用．