Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①由等边三角形的性质得出∠EAF=60°，AE=AF，求出∠C=120°，由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠C=∠BAD=120°，得出∠B=180°-∠C=60°，①正确；

②由平行四边形的性质得出∠D=∠B=60°，求出∠BAE=∠DAF=30°，得出∠EAF=120°-30°-30°=60°，但是AE不一定等于AF，②错误；

③由平行四边形的面积得出BCAE=CDAF，得出BC=CD，证出平行四边形ABCD是菱形，③正确；

④由菱形的性质得出BC=CD，由面积得出BCAE=CDAF，得出AE=AF，④正确；即可得出结论．

解：①∵△AEF是等边三角形，

∴∠EAF=60°，AE=AF，

又∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠C=120°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∠C=∠BAD=120°，

∴∠B=180°-∠C=60°，故①正确；

②∵∠D=∠B=60°，

∴∠BAE=∠DAF=90°-60°=30°，

∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，

但是AE不一定等于AF，故②错误；

③若AE=AF，则BCAE=CDAF，

∴BC=CD，

∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；

④若平行四边形ABCD是菱形，

则BC=CD，

∴BCAE=CDAF，

∴AE=AF，故④正确；

故答案为：①③④．