Question

17．已知关于x的一元二次方程mx²-2x+1=0
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x₁、x₂，且（x₁-1）（x₂-1）=$\frac{3}{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=（-2）²-4m≥0，然后解两个不等式得到其公共部分即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{2}{m}$，x₁•x₂=$\frac{1}{m}$，再由已知条件得（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=$\frac{3}{2}$，然后整体代入得到$\frac{1}{m}$-$\frac{2}{m}$=$\frac{1}{2}$，再解方程即可．

解答 解：（1）根据题意得m≠0且△=（-2）²-4m≥0，
解得m≤1且m≠0；

（2）根据题意得x₁+x₂=$\frac{2}{m}$，x₁•x₂=$\frac{1}{m}$，
∵（x₁-1）（x₂-1）=$\frac{3}{2}$，
∴x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=$\frac{3}{2}$，
即x₁•x₂-（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{m}$-$\frac{2}{m}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=-2．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．