Question

9．证明：
$\frac{b}{a（a+b）}$+$\frac{c}{（a+b）（a+b+c）}$+$\frac{d}{（a+b+c）（a+b+c+d）}$=$\frac{b+c+d}{a（a+b+c+d）}$．

Answer 1

分析 先根据分式的加减法的逆运算将左边裂项展开，第一项为$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a+b}$，第二项为$\frac{1}{a+b}$-$\frac{1}{a+b+c}$，第三项为$\frac{1}{a+b+c}$-$\frac{1}{a+b+c+d}$，再进行化简通分即可．

解答 证明：左边裂项展开，第一项为$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a+b}$，第二项为$\frac{1}{a+b}$-$\frac{1}{a+b+c}$，第三项为$\frac{1}{a+b+c}$-$\frac{1}{a+b+c+d}$，
∴左边=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{a+b}$-$\frac{1}{a+b+c}$+$\frac{1}{a+b+c}$-$\frac{1}{a+b+c+d}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a+b+c+d}$=$\frac{b+c+d}{a（a+b+c+d）}$，
又∵右边=$\frac{b+c+d}{a（a+b+c+d）}$．
∴$\frac{b}{a（a+b）}$+$\frac{c}{（a+b）（a+b+c）}$+$\frac{d}{（a+b+c）（a+b+c+d）}$=$\frac{b+c+d}{a（a+b+c+d）}$成立．

点评 本题主要考查了分式的加减运算法则的运用，解决问题的关键是运用裂项法进行计算变形．