Question

6．已知某二次函数的图象经过点A（2，4），B（-1，0），且在x轴上截得的线段长为2．求此函数的解析式．

Answer 1

分析 先利用抛物线在x轴上截得的线段长为2得到二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）或（1，0），则分类讨论：当抛物线过A（2，4），B（-1，0），（-3，0），设交点式y=a（x+3）（x+1），再把A点坐标代入求出a的值即可得到此时抛物线解析式；用同样方法求出抛物线过A（2，4），B（-1，0），（1，0）的解析式．

解答 解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为B（-1，0），且在x轴上截得的线段长为2，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）或（1，0），
当抛物线过A（2，4），B（-1，0），（-3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x+1），
把A（2，4）代入得a•5•3=4，解得a=$\frac{4}{15}$，此时抛物线解析式为y=$\frac{4}{15}$（x+3）（x+1），即y=$\frac{4}{15}$x²+$\frac{16}{15}$x+$\frac{4}{5}$；
当抛物线过A（2，4），B（-1，0），（1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-1），
把A（2，4）代入得a×3×1=4，解得a=$\frac{4}{3}$，此时抛物线解析式为y=$\frac{4}{3}$（x+1）（x-1），即y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{4}{3}$，
所以此抛物线解析式为=$\frac{4}{15}$x²+$\frac{16}{15}$x+$\frac{4}{5}$或y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．