Question

有若干个数，第一个记作a₁，第二个记作a₂，第三个记作a₃，第n个记作a_n；若a是不为1的有理数，把

1

1-a

叫做1与a的差的倒数；若a₁=-

1

2

，从第二个数起，每个数等于“1与前面那个数的差的倒数”．
（1）试计算a₂=

 

a₃=

 

，a₄=

 

，
（2）根据前面计算的规律，猜想出a₂₀₀₀，a₂₀₀₃，a₂₀₀₈的值分别为

 

，

 

，

 

．

Answer 1

分析：（1）根据题中的定义分别代入计算．
（2）根据a₁，a₂，a₃，a₄的取值找出其中的规律，从而得出a₂₀₀₀，a₂₀₀₃，a₂₀₀₈的值．

解答：解：（1）根据题中的定义可知：
a₁=-

1

2

，
a₂=

1

1-a1

=

2

3

，
a₃=

1

1-a2

=3，
a₄=

1

1-a3

=-

1

2

；

（2）由a₁，a₂，a₃，a₄可以得出a₄=a₁，
说明是循环的，则a₁=a_3n+1，a₂=a_3n+2，a₃=a_3n+3
a₂₀₀₀=a_666×3+2=a₂=

2

3

，a₂₀₀₃=a_667×3+2=a₂=

2

3

，a₂₀₀₈=a_669×3+1=a₁=-

1

2

，
故答案为：（1）：

2

3

，3，-

1

2

，（2）：

2

3

，

2

3

，-

1

2

．

点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．