Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为3$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 （方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，由AB=AC=2$\sqrt{3}$、∠BAC=120°，可得出BC=6、∠B=∠ACB=30°，通过角的计算可得出∠FAE=60°，结合旋转的性质可证出△ADE≌△AFE（SAS），进而可得出DE=FE，设CE=2x，则CM=x，EM=$\sqrt{3}$x、FM=4x-x=3x、EF=ED=6-6x，在Rt△EFM中利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入DE=6-6x中即可求出DE的长．
（方法二）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB=AC=2$\sqrt{3}$、∠BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=30°，根据旋转的性质可得出∠ECG=60°，结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得出△CEF为直角三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE，设EC=x，则BD=CD=2x，DE=FE=6-3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=$\sqrt{3}$x，利用FE=6-3x=$\sqrt{3}$x可求出x以及FE的值，此题得解．

解答 解：（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．
∵AB=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=120°，
∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．
在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AN=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，BN=$\sqrt{A{B}^{2}-A{N}^{2}}$=3，
∴BC=6．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠DAE=∠FAE=60°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，
∴设CE=2x，则CM=x，EM=$\sqrt{3}$x，FM=4x-x=3x，EF=ED=6-6x．
在Rt△EFM中，FE=6-6x，FM=3x，EM=$\sqrt{3}$x，
∴EF²=FM²+EM²，即（6-6x）²=（3x）²+（$\sqrt{3}$x）²，
解得：x₁=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$（不合题意，舍去），
∴DE=6-6x=3$\sqrt{3}$-3．
故答案为：3$\sqrt{3}$-3．
（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．
∵AB=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=120°，
∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，
∴∠ECG=60°．
∵CF=BD=2CE，
∴CG=CE，
∴△CEG为等边三角形，
∴EG=CG=FG，
∴∠EFG=∠FEG=$\frac{1}{2}$∠CGE=30°，
∴△CEF为直角三角形．
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．
在△ADE和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠DAE=∠FAE=60°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE．
设EC=x，则BD=CD=2x，DE=FE=6-3x，
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，
EF=$\sqrt{C{F}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∴6-3x=$\sqrt{3}$x，
x=3-$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{3}$x=3$\sqrt{3}$-3．
故答案为：3$\sqrt{3}$-3．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程以及旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．