已知.矩形ABCD中.AB=4cm.BC=8cm.AC的垂直平分线EF分别交AD.BC于点E.F.垂足为O．(1)如图1.连接AF.CE．求证:四边形AFCE为菱形, (2)如图1.求AF的长,(3)如图2.动点P.Q分别从A.C两点同时出发.沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止.点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中.已知点P的速� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形；　　　　　　
（2）如图1，求AF的长；
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度，若不可能，请说明理由；
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

分析（1）由判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可证，
（2）由（1）得，设AF=FC=CE=AE=x，BF=y，由图形中存在的等量关系及勾股定理求证，
（3）①若以点A、C、P、Q四点为顶点四边形是矩形，则点P与点B重合，点Q与点D 重合，由运动过程中时间相等求解，
②则利用平行四边形的性质可以求解．

解答解：（1）∵AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，
∴OA=OC，
又∵矩形ABCD中，AD∥BC．
∴∠OEA=∠FCO，
∴在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEA=∠FCO}&{\;}\\{∠AOC=∠COF}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\end{array}\right.$

∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC⊥EF于点O，
∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
（2）由（1）可知，四边形AFCE是菱形，设AF=FC=CE=AE=x，BF=y，
由题意，有 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=8}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=16}\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3}\end{array}\right.$
即：所求AF的长为5．
（3）①有可能是矩形理由如下：
当点P从点A出发移动到点B、点Q运动到点D时，四边形APCQ是矩形，
此时，二者的运动时间相等，则，
t=（5+3）÷1=8（秒），
而点Q的速度为：4÷8=0.5（cm/s），
∴所求时间为8秒，点Q的速度为0.5cm/s，
②

由题意可知，RT△ABF≌RT△CDE，且AB=CD=4，BF=DE=3，AF=CE=5，
如图：当四边形APCQ是平行四边形时，有AP∥CQ，且AP=CQ，
而 AP=t，CQ=（3+4+5）-0.8t，则
t=12-0.8t，t=12，
即：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，t的值为12，

点评本题是四边形综合题，考查了运动问题中的相等关系、菱形的判定及性质、矩形的性质、勾股定理及方程思想．解本题的关键是要熟练掌握特殊四边形的性质及判定．

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