Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，O为BC的中点，动点E、F分别在边AB、AC上，且∠EOF=45°．
（1）猜想线段AE、EF、CF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，若以O为圆心的圆与AB相切，试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）可得出结论AE+EF=CF．连接OA，在CF上取点G，使CG=AE，可证△AOE≌△COG，△FOE≌△FOG，就可证出．
（2）由题意可证明△OEB∽△FOC，△OEB∽△FOC，则得出点O到AB和EF的距离相等，即可得出结论．

解答：解：（1）AE+EF=CF．
连接OA，在CF上取点G，使CG=AE，
∵AB=AC，∠A=90°，O为BC的中点，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAE=∠OCG=45°，
∴△AOE≌△COG（SAS），
∴OE=OG，∠A0E=∠COG，
∵∠EOF=45°，
∴∠FOG=45°，
∴∠EOF=∠FOG，
∴△FOE≌△FOG（SAS），
∴EF=FG，
∴AE+EF=CF．

（2）EF与⊙O相切．
在△OEB和△FOC中，∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，
∴∠FOC=∠OEB．
又∵∠B=∠C，
∴△OEB∽△FOC．
∴

BE

CO

=

BO

CF

．
∵△OEB∽△FOC，
∴

BE

CO

=

OE

OF

．
∴

BE

BO

=

OE

OF

．
又∵∠B=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF．
∴∠BEO=∠OEF．
∴点O到AB和EF的距离相等．
∵AB与⊙O相切，
∴点O到EF的距离等于⊙O的半径．
∴EF与⊙O相切．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及切线的性质，是一道综合题，难度偏大．