精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,O为BC的中点,动点E、F分别在边AB、AC上,且∠EOF=45°.
(1)猜想线段AE、EF、CF之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图2,若以O为圆心的圆与AB相切,试探究直线EF与⊙O的位置关系,并证明你的结论.
精英家教网
分析:(1)可得出结论AE+EF=CF.连接OA,在CF上取点G,使CG=AE,可证△AOE≌△COG,△FOE≌△FOG,就可证出.
(2)由题意可证明△OEB∽△FOC,△OEB∽△FOC,则得出点O到AB和EF的距离相等,即可得出结论.
解答:精英家教网解:(1)AE+EF=CF.
连接OA,在CF上取点G,使CG=AE,
∵AB=AC,∠A=90°,O为BC的中点,
∴OA=OB=OC,
∴∠OAE=∠OCG=45°,
∴△AOE≌△COG(SAS),
∴OE=OG,∠A0E=∠COG,
∵∠EOF=45°,
∴∠FOG=45°,
∴∠EOF=∠FOG,
∴△FOE≌△FOG(SAS),
∴EF=FG,
∴AE+EF=CF.

(2)EF与⊙O相切.
在△OEB和△FOC中,∠EOB+∠FOC=135°,∠EOB+∠OEB=135°,
∴∠FOC=∠OEB.
又∵∠B=∠C,
∴△OEB∽△FOC.
BE
CO
=
BO
CF

∵△OEB∽△FOC,
BE
CO
=
OE
OF

BE
BO
=
OE
OF

又∵∠B=∠EOF=45°,
∴△BEO∽△OEF.
∴∠BEO=∠OEF.
∴点O到AB和EF的距离相等.
∵AB与⊙O相切,
∴点O到EF的距离等于⊙O的半径.
∴EF与⊙O相切.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质以及切线的性质,是一道综合题,难度偏大.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点.以BD为直径作圆O,交边AB于点P,连接PC,交AD于点E.
(1)求证:AD是圆O的切线;
(2)当∠BAC=90°时,求证:
PE
CE
=
1
2

(3)如图2,当PC是圆O的切线,E为AD中点,BC=8,求AD的长.精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

我们给出如下定义:有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题:
(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称;
(2)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且CD=CA,点E、F分别为BC、AD的中点,连接EF并延长交AB于点G.求证:四边形AGEC是等邻角四边形;
(3)如图2,若点D在△ABC的内部,(2)中的其他条件不变,EF与CD交于点H,图中是否存在等邻角四边形,若存在,指出是哪个四边形,不必证明;若不存在,请说精英家教网明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(1)已知:如图1,在四边形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求证:AB+AC>
BC2+CD2

(2)已知:如图2,在△ABC中,AB上的高为CD,试判断(AC+BC)2与AB2+4CD2之间的大小关系,并证明你的结论.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线,点D是垂足,点E是BC的中点,规定:λA=
DE
BD
.如图2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O.
(1)求证:∠AOC=90°+
12
∠ABC;
(2)当∠ABC=90°时,且AO=3OD(如图2),判断线段AE,CD,AC之间的数量关系,并加以证明.

查看答案和解析>>

同步练习册答案