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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°.点D是直线BC上的一个动点,连接AD,并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE.
(1)如图①,当点E恰好在线段BC上时,请判断线段DE和BE的数量关系,并结合图①证明你的结论;
(2)当点E不在直线BC上时,连接BE,其它条件不变,(1)中结论是否成立?若成立,请结合图②给予证明;若不成立,请直接写出新的结论;
(3)若AC=3,点D在直线BC上移动的过程中,是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形?如果存在,直接写出线段CD的长度;如果不存在,请说明理由.
(1)DE=BE. 理由如下:
∵△ADE为等边三角形,
∴AD=DE=AE,∠AED=60°.
∵∠ABC=30°,∠AED=∠ABC+∠EAB,
∴∠EAB=60°-30°=30°,
∴∠ABC=∠EAB,
∴EB=AE,
∴EB=DE;

(2)如图,

过点E作EF⊥AB,垂足为F,
在△ABC中,∠ABC=30°,
∴∠CAB=60°,
∴∠DAE=∠CAB,
∴∠DAE-∠CAE=∠BAC-∠CAE,
则∠CAD=∠EAF.
又∵AD=AE,∠ACD=∠AFE,
∴△ADC≌△AEF,
∴AC=AF.
在△ABC中,∠ABC=30°,
∴AC=
1
2
AB,
∴AF=BF,
∴EA=EB,
∴DE=EB;

(3)如图,

∵四边形ACDE是梯形,∠ACD=90°,
∴∠CAE=90°.
∵∠CAE=∠CAD+∠EAD,
又∵在正三角形ADE中,∠EAD=60°,
∴∠CAD=30°.
在直角三角形ACD中,AC=3,∠CAD=30°,
由勾股定理可得CD=
3

同理可得:若点D与点B重合,AC平行DE,此时CD=3
3

综上所述:若AECD,CD=
3
;若点D与点B重合,此时CD=3
3
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1
2
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3
2
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3

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3
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3
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3

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5
-1)

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