Question

已知如图1，△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于E，CE⊥AE于E．
（1）证明BD=DE+CE；
（2）若直线AE绕点A点顺时针旋转，当点B、C在AE同侧且BD＜CE，其它条件不变，在图2上画出此时的图，并直接写出BD与DE、CE的关系，不须证明；
（3）继续绕点A顺时针旋转，当B、C在AE同侧且BD＞CE其它条件不变，在图3上画出此时的图，并写出BD与DE、CE的关系，请加以证明．

Answer 1

分析：（1）由HL得出Rt△ABD≌Rt△CAE，进而得出BD=AE，AD=CE，再由线段之间的转化即可得出结论；
（2）依据题意画出图形，由题中条件同样可得Rt△ABD≌Rt△CAE，再由线段之间的关系写出最终结论即可；
（3）根据题意先作出出行，进而结合图形进行求解，证法同（1）、（2）．

解答：证明：
（1）∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°．
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
∵∠ABD=∠CAE，
∠ADB=∠CEA，
AB=AC．
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=CE+DE．

（2）如图2，
线段BD与DE、CE存在的关系是，BD=DE-CE．

（3）如图3，
线段BD、DE、CE的关系是BD=DE-CE，
证明方法与（1）相同，
∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°．
∴∠ABD=∠CAE．
在ABD和CAE中，
∵∠ABD=∠CAE，
∠ADB=∠CEA，
AB=AC．
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
AE=DE-AD，
BD=DE-CE．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够掌握其性质并熟练运用．