【题目】如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连接CF并延长交AB于点M,MN⊥CM交射线AD于点N
(1)如图1,当点F为BE的中点时,求证:AM=CE;
(2)如图2,若==n(n≥3)时,请直接写出的值;
(3)若矩形ABCD(AB>BC)对角线AC交MN于T,H为边BC上一点,∠CMH=45°且=(如图3).若CF平分∠ACB,请直接写出的值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)如图1中,证明△BFM≌△EFC(ASA)即可解决问题;
(2)如图2中,设BC=a,则AB=BC=na,EC=DE=.利用相似三角形的性质求出EF,BF,根据EF:BF=n,构建方程求出n,求出AN,DN(用a表示),即可解决问题;
(3)如图3中,延长NM交CB的延长线于G,作CK⊥CM交MH的延长线于K,作KJ⊥BC于J.由△CBM≌△KJC(AAS),推出BM=CJ,BC=JK,设BM=CJ=x,由BH:CH=1:5,可以假设BH=x,CH=5x,由BM∥JK,推出=,可得=,解得x=3a或2a(舍弃),再想办法求出MF,MT即可解决问题.
(1)证明:如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠MBF=∠CEF,
∵BF=EF,∠BFM=∠CFE,
在△BFM和△EFC中,
,
∴△BFM≌△EFC(ASA),
∴BM=CE,
∵DE=EC=CD,
∴BM=AB,
∴AM=BM=EC.
(2)解:如图2中,设BC=a,则AB=CD=na,EC=DE=.
则EB=,
由CF⊥BE,可得EF==,BF==,
∵EF:BF=n,
∴:=n,
解得n=4或0(舍弃),
∴AB=DC=4a,EC=DE=2a,
易知BM=a,AM=a,AN=a,DN=a-a=a,
∴==.
(3)解:如图3中,延长NM交CB的延长线于G,作CK⊥CM交MH的延长线于K,作KJ⊥BC于J.
∵∠CMK=45°,∠MCK=90°,
∴CM=CK,
∵∠MCB+∠CMB=90°,∠MCB+∠BCK=90°,
∴∠CMB=∠BCK,
在△CBM和△KJC中,
,
易证△CBM≌△KJC(AAS),
∴BM=CJ,BC=JK,设BM=CJ=x,
∵BH:CH=1:5,
∴可以假设BH=x,CH=5x,
∵BM∥JK,
∴=,
∴=,
解得x=3a或2a(舍弃),
∵CM平分∠ACB,易证=,
∴=,
∴AC=2AM,设AM=y,则AC=2y,
∵AC2=AB2+BC2,
∴4y2=(y+3a)2+(6a)2,
解得y=5a(负根已经舍弃),
∴AM=5a,AB=CD=8a,EC=4a,CM==3a,
∵BM∥EC,
∴==,
∴MF=×3a=a,
∵CM⊥TG,CM平分∠TCG,
∴易证MT=MG,
由△MBG∽△CBM,可得MG=a,
∴MT=a,
∴==.
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【题目】如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直线OB于E,D,连接EC,CD.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)若tan∠CED=,⊙O的半径为3,求OA的长.
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【题目】如图,方格纸的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上.
(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1;
(2)画出△ABC向上平移5个单位后的△A2B2C2,并求出平移过程中△ABC扫过的面积.
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【题目】如图,已知二次函数的图象与轴交于,两点在左侧),与轴交于点,顶点为.
(1)当时,求四边形的面积;
(2)在(1)的条件下,在第二象限抛物线对称轴左侧上存在一点,使,求点的坐标;
(3)如图2,将(1)中抛物线沿直线向斜上方向平移个单位时,点为线段上一动点,轴交新抛物线于点,延长至,且,若的外角平分线交点在新抛物线上,求点坐标.
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【题目】抛物线y=a(x-1)2+k与x轴两个交点间的距离为2,将抛物线y=a(x-1)2+k向上平移n个单位,平移后的抛物线经过点(m,n),则m的值是______.
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【题目】某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试,为了解测试结果,随机抽取部分学生的成绩进行分析,将成绩分为三个等级:不合格、一般、优秀,并绘制成如下两幅统计图(不完整).
请你根据图中所给的信息解答下列问题:
(1)请将以上两幅统计图补充完整;
(2)若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩,则该校被抽取的学生中有 人达标;
(3)若该校学生有1200人,请你估计此次测试中,全校达标的学生有多少人?
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【题目】如图,一次函数与x轴,y轴的交点分别是A(﹣4,0),B(0,2).与反比例函数的图象交于点Q,反比例函数图象上有一点P满足:①PA⊥x轴;②PO=(O为坐标原点),则四边形PAQO的面积为( )
A.7B.10C.4+2D.4﹣2
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【题目】某商店在节日期间开展优惠促销活动:购买原价超过500元的商品,超过500元的部分可以享受打折优惠.若购买商品的实际付款金额y(单位:元)与商品原价x(单位:元)的函数关系的图像如图所示,则超过500元的部分可以享受的优惠是( )
A. 打六折B. 打七折C. 打八折D. 打九折
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,过,,三点作圆,点在第一象限部分的圆上运动,连结,过点作的垂线交的延长线于点,下列说法:①;②;③的最大值为10.其中正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
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