Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=与抛物线y=交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为-4，点P为直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，PH⊥AB于H．

（1）求b的值及sin∠PQH的值；

（2）设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示点P到直线AB的距离PH的长，并求出PH之长的最大值以及此时t的值；

（3）连接PB，若线段PQ把△PBH分成成△PQB与△PQH的面积相等，求此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）b=-1，；（2），当t=-1时，PH有最大值为；（3）P（-3，0）．

【解析】

（1）令y=0，求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入直线解析式，求出点B的值，然后根据点A和点C的坐标，求出OA和OC的长度，根据勾股定理求出AC的长度，根据PQ∥OC，可得∠PQH=∠OCA，然后求出sin∠PQH的值；

（2）求出点P和点Q的坐标，运用三角函数，求出PH的函数关系式，运用求最大值的方法求解即可．

（3）作BD⊥PQ交PQ的延长线于点D，由S△PQB=S△PQH，得出BQ=QH，利用三角函数求出QH和BQ的关系式，运用相等的关系求出t，即可得出点P的坐标．

解：（1）令y=0得：，化简x2+x-6=0，解得x1=-3，x2=2，

∴A（2，0），

∵A（2，0）在直线上，

∴1+b=0，解得b=-1，

∴OC=1，OA=2，

，

∵PQ∥OC，

∴∠PQH=∠OCA，

，

（2），

，

，

，

∴当t=-1时，PH有最大值为，

（3）如图，作BD⊥PQ交PQ的延长线于点D，设点P的横坐标为t，

∵S△PQB=S△PQH，

∴BQ=QH，

在RT△PHQ中，

，

，

，

在RT△BDQ中，

∵∠BQD=∠PQH，

，

，

，

，

，

∴t2+7t+12=0，

∴t1=-3，t2=-4（舍去），

∴P（-3，0）．