Question

若点P（t，t）在抛物线上，则点P叫做抛物线的不动点．设抛物线y=ax²+x+2经过点（-1，0）
（1）求这条抛物线的顶点和不动点的坐标；
（2）将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点．证明平移后的抛物线的顶点在直线4x-4y-1=0上．

Answer 1

分析：（1）可将已知点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式，进而可求出其顶点坐标．
按题目给出的不动点的形式设出不动点的坐标，然后将其代入抛物线中，即可求出不动点的坐标．
（2）可设出平移后抛物线的解析式，由于这个抛物线只有一个不动点，因此这个函数与直线y=x只有一个交点，根据根的判别式即可得出平移后抛物线解析式的顶点坐标，然后将其代入直线4x-4y-1=0中，进行判断即可．

解答：解：（1）已知抛物线y=ax²+x+2经过点（-1，0），
则有：a-1+2=0，a=-1
∴y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

∴抛物线的顶点为（

1

2

，

9

4

）
设不动点P的坐标为（m，m），
则有：-m²+m+2=m，
解得m=±

2

，
∴不动点（

2

，

2

）和（-

2

，-

2

）．

（2）设平移后的抛物线为y=-（x-a）²+b，
由于抛物线只有一个不动点，
因此抛物线与直线y=x只有一个交点，
即x=-（x-a）²+b，
化简得-x²+（2a-1）x-（a2-b）=0，
△=（2a-1）²-4（a²-b）=0，即4a-4b-1=0，
很明显，平移后抛物线的顶点在直线4x-4y-1=0上．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点等知识点．