Question

9．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，AD=2，连接DC，过点D作DE⊥DC交OA于点E．
（1）直接写出E的坐标（0，1）；
（2）求过E、D、C三点的抛物线解析式；
（3）将∠EDC绕点D顺时针旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G，在旋转的过程中，直线DF与抛物线的另一交点为M，且M的横坐标为1.2那么EF=2GO成立吗？为什么？
（4）对于（3）中的G点，在位于第一象限的抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成等腰△PCG？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，DE⊥DC，证得△ADE∽△BCD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得E的坐标；
（2）首先设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），然后直接利用待定系数法求得此抛物线解析式；
（3）首先求得直线DM的解析式，然后过点D作DK⊥OC于点K，易证得△DAF≌△DKG，则可证得结论；
（4）分别从①若PG=PC，②若PG=GC，③若PC=GC，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠EAD=∠B=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠BDC=90°，
∴∠AED=∠BDC，
∴△ADE∽△BCD，
∴AE：BD=AD：BC，
∵OA=2，OC=3，AD=2，
∴BC=OA=2，AB=OC=3，
∴BD=AB-AD=3-2=1，
∴AE：1=2：2，
解得：AE=1，
∴OE=OA-AE=1，
∴E（0，1）；
故答案为：0，1；

（2）设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
将点E的坐标代入，得c=1．
将c=1和点D、C的坐标分别代入，得$\left\{\begin{array}{l}4a+2b+1=2\\ 9a+3b+1=0.\end{array}\right.$
解这个方程组，得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{5}{6}\\ b=\frac{13}{6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{13}{6}$x+1．

（3）EF=2GO成立．
如图1，∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为$\frac{6}{5}$，
∴点M的纵坐标为$\frac{12}{5}$．
设DM的解析式为y=kx+b₁（k≠0），将
点D、M的坐标分别代入，得$\left\{\begin{array}{l}2k+{b_1}=2\\ \frac{6}{5}k+{b_1}=\frac{12}{5}.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\{b_1}=3\end{array}\right.$，
∴DM的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+3．
∴F（0，3），
∴EF=2．
过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK．
∵∠ADK=∠FDG=90°，
∴∠FDA=∠GDK．
又∵∠FAD=∠GKD=90°，
在△DAF和△DKG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDA=∠GKD=90°}\\{DA=DK}\\{∠FDA=∠GDK}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△DKG．
∴KG=AF=1．
∴GO=1．
∴EF=2GO．

（3）如图2，∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2）．
∴PG²=（t-1）²+2²，PC²=（3-t）²+2²，GC=2．
①若PG=PC，则（t-1）²+2²=（3-t）²+2²，解得t=2．
∴P（2，2），此时点Q与点P重合．
∴Q（2，2）．
②若PG=GC，则（t-1）²+2²=2²，解得 t=1，
∴P（1，2），此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，
∴点Q的纵坐标为$\frac{7}{3}$．
∴Q（1，$\frac{7}{3}$）．
③若PC=GC，则（3-t）²+2²=2²，解得t=3，
∴P（3，2），此时PC=GC=2，
故△PCG是等腰直角三角形．
过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，
∴Q（h+1，h）．
∴-$\frac{5}{6}$（h+1）²+$\frac{13}{6}$（h+1）+1=h．
解得h₁=$\frac{7}{5}$，h₂═-2（舍去）．
∴Q（$\frac{12}{5}$，$\frac{7}{5}$）．
综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，$\frac{7}{3}$）或Q（$\frac{12}{5}$，$\frac{7}{5}$）．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数求函数解析式、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．注意掌握分类讨论思想的应用，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，