Question

3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，
（1）AB=12；
（2）设点D在AB边上，点E是AC边上一点（不与点A、C重合），若DB=DE，则BD的取值范围是4≤BD＜6．

Answer 1

分析 （1）根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得出AB=2BC=12；
（2）以D为圆心，DB的长为半径画圆，当圆与AC相切时，BD最小，与线段AC相交且交点为A或C时，BD最大，分别求出即可得到范围．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12；

（2）以D为圆心，BD的长为半径画圆．
①如图1，当圆与AC相切时，DE⊥AC时，
∵∠A=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD，
∵AB=12，
∴BD=4；
②如图2，当圆与AC相交时，若交点为A或C，则BD=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴BD的取值范围是4≤BD＜6．
故答案为4≤BD＜6．

点评 本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了垂线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，利用边AC与圆的位置关系解答，分清BD最小和最大的两种情况是解决（2）小题的关键．