Question

（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？

Answer 1

分析：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（3）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（4）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入后根据根的判别式进行判断即可．

解答：解：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①

9

4

=

x

10-x

或②

9

10-x

=

x

4

，
解方程①得：x=

90

13

，
方程②得：x（10-x）=36，
x²-10x+36=0，
△=（-10）²-4×1×36＜0，此方程无解，
∴当BP=

90

13

时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为

90

13

；

（2）在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①

9

4

=

x

12-x

或②

9

12-x

=

x

4

，
解方程①得：x=

108

13

，
方程②得：x（12-x）=36，
x²-12x+36=0，
△=（-12）²-4×1×36=0，
此方程的解为x₂=x₃=6，
∴当BP=

108

13

或6时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为

108

13

或6；

（3）在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①

9

4

=

x

15-x

或②

9

15-x

=

x

4

，
解方程①得：x=

135

13

，
方程②得：x（15-x）=36，
x²-15x+36=0，
△=（-15）²-4×1×36=81，
此方程的解为x₂=3，x₃=12，
∴当BP=

135

13

或3或12时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在3个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为

135

13

或3或12；

（4）设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①

m

n

=

x

l-x

或②

m

l-x

=

x

n

，
解方程①得：x=

ml

m+n

，
方程②得：x（l-x）=mn，
x²-lx+mn=0，
△=（-l）²-4×1×mn=l²-4mn，
∴当l²-4mn＜0时，方程②没有实数根，
即当l²-4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；
∵当l²-4mn=0时，方程②有1个实数根，
∴当l²-4mn=0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；
∵当l²-4mn＞0时，方程②有2个实数根，
∴当l²-4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，根的判别式的应用，注意：ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数），当△=b²-4ac＜0时，方程无实数解，当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，当△=b²-4ac＞0时，方程有两个不等的实数解．