Question

9．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及直径所对的圆周角是直角，利用等量代换证得∠ACO=90°，据此即可证得；
（2）易证∠A=∠B=∠1=∠2=30°，即可求得AC的长，作CE⊥AB于点E，求得CE的长，利用三角形面积公式求解．

解答 （1）证明：如图，连接OC．
∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，
∴∠A=∠B=∠1=∠2．
又∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠ACO=∠DCO+∠2，
∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，
∴∠ACO=90°，即AC⊥OC，
又C在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：由题意可得△DCO是等腰三角形，
∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，
∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等边三角形．
∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=OD=4，
在直角△BCD中，$BC=\sqrt{B{D^2}-C{D^2}}=\sqrt{{8^2}-{4^2}}=4\sqrt{3}$．
作CE⊥AB于点E．在直角△BEC中，∠B=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$2\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$×12×2$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．