分析 (1)如图1中,在BC上取一点G,使得BG=1.由△PBG∽△CBP,推出$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{1}{2}$,推出PG=$\frac{1}{2}$PC,推出PD+$\frac{1}{2}$PC=DP+PG,由DP+PG≥DG,当D、G、P共线时,PD+$\frac{1}{2}$PC的值最小,最小值为DG=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5.由PD-$\frac{1}{2}$PC=PD-PG≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大(如图2中),最大值为DG=5;
(2)如图3中,在BC上取一点G,使得BG=4.解法类似(1);
(3)如图4中,在BC上取一点G,使得BG=4,作DF⊥BC于F.解法类似(1);
解答 解:(1)如图1中,在BC上取一点G,使得BG=1.
∵$\frac{PB}{BG}$=$\frac{2}{1}$=2,$\frac{BC}{PB}$=$\frac{4}{2}$=2,
∴$\frac{PB}{BG}$=$\frac{BC}{PB}$,∵∠PBG=∠PBC,
∴△PBG∽△CBP,
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{1}{2}$,
∴PG=$\frac{1}{2}$PC,
∴PD+$\frac{1}{2}$PC=DP+PG,
∵DP+PG≥DG,
∴当D、G、P共线时,PD+$\frac{1}{2}$PC的值最小,最小值为DG=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5.
∵PD-$\frac{1}{2}$PC=PD-PG≤DG,
当点P在DG的延长线上时,PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大(如图2中),最大值为DG=5.
(2)如图3中,在BC上取一点G,使得BG=4.
∵$\frac{PB}{BG}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$,$\frac{BC}{PB}$=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{PB}{BG}$=$\frac{BC}{PB}$,∵∠PBG=∠PBC,
∴△PBG∽△CBP,
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{2}{3}$,
∴PG=$\frac{2}{3}$PC,
∴PD+$\frac{2}{3}$PC=DP+PG,
∵DP+PG≥DG,
∴当D、G、P共线时,PD+$\frac{2}{3}$PC的值最小,最小值为DG=$\sqrt{{5}^{2}+{9}^{2}}$=$\sqrt{106}$.
∵PD-$\frac{2}{3}$PC=PD-PG≤DG,
当点P在DG的延长线上时,PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大,最大值为DG=$\sqrt{106}$.
故答案为$\sqrt{106}$,$\sqrt{106}$
(3)如图4中,在BC上取一点G,使得BG=4,作DF⊥BC于F.
∵$\frac{PB}{BG}$=$\frac{2}{1}$=2,$\frac{BC}{PB}$=$\frac{4}{2}$=2,
∴$\frac{PB}{BG}$=$\frac{BC}{PB}$,∵∠PBG=∠PBC,
∴△PBG∽△CBP,
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{1}{2}$,
∴PG=$\frac{1}{2}$PC,
∴PD+$\frac{1}{2}$PC=DP+PG,
∵DP+PG≥DG,
∴当D、G、P共线时,PD+$\frac{1}{2}$PC的值最小,最小值为DG,
在Rt△CDF中,∠DCF=60°,CD=4,
∴DF=CD•sin60°=2$\sqrt{3}$,CF=2,
在Rt△GDF中,DG=$\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(5)^{2}}$=$\sqrt{37}$
∵PD-$\frac{1}{2}$PC=PD-PG≤DG,
当点P在DG的延长线上时,PD-$\frac{1}{2}$PC的值最大(如图2中),最大值为DG=$\sqrt{37}$.
故答案为$\sqrt{37}$,$\sqrt{37}$.
点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会构建相似三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,把问题转化为两点之间线段最短解决,题目比较难,属于中考压轴题.
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