Question

如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD=3，E为AC中点，当△BPD与△PCE相似时，求BP的值．

Answer 1

考点：相似三角形的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：设BP=x，表示出CP=8-x，然后分①BD和PC是对应边，②BD和CE是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答：解：设BP=x，
∵等边△ABC的边长为8，
∴CP=8-x，
∵E为AC中点，
∴CE=

1

2

AC=

1

2

×8=4，
①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，
∴

BD

CP

=

BP

CE

，
即

3

8-x

=

x

4

，
整理得，x²-8x+12=0，
解得x₁=2，x₂=6，
即BP的长为2或6，
②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，
∴

BD

CE

=

BP

CP

，
即

3

4

=

x

8-x

，
解得x=

24

7

，
即BP=

24

7

，
综上所述，BP的值是2或6或

24

7

．

点评：本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．