Question

5．如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q．
（1）求证：△BPE∽△CEQ；
（2）求证：DP平分∠BPQ；
（3）当BP=a，CQ=$\frac{9}{2}$a，求PQ长（用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得△BPE∽△CEQ；
（2）只要证明△BPE∽△EPQ，推出∠BPE=∠EPQ，推出∠DPB=∠DPQ即可；
（3）根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离；

解答 解：（1）∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∵∠B=∠C=45°，
∴△BPE∽△CEQ，

（2）∵△BPE∽△CEQ，
∴$\frac{BP}{CE}$=$\frac{PE}{EQ}$，
∵CE=BE，
∴$\frac{BP}{BE}$=$\frac{PE}{EQ}$，
∵∠B=∠DEF=45°，
∴△BPE∽△EPQ，
∴∠BPE=∠EPQ，
∴∠DPB=∠DPQ，
∴DP平分∠BPQ．

（3）
∵△BPE∽△CEQ，
∴$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，
∵BP=a，CQ=$\frac{9}{2}$a，BE=CE，
∴$\frac{a}{CE}$=$\frac{CE}{\frac{9}{2}a}$，
∴BE=CE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
∴BC=3 $\sqrt{2}$a，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ-AC=$\frac{3}{2}$a，PA=AB-BP=2a，
在Rt△APQ中，PQ=$\sqrt{A{Q}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{5}{2}$a．

点评 本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．