Question

【题目】已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，

（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝　 　°；β＝　 　°．

（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．

（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）20，10；（2）α＝2β；（3）见解析.

【解析】

（1）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；

（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；

（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；

②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．

（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴∠BAC=60°，

∵AD=AE，∠ADE=70°，

∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，

∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，

∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，

∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，

故答案为：20，10；

（2）设∠ABC=x，∠AED=y，

∴∠ACB=x，∠AED=y，

在△DEC中，y=β+x，

在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，

∴α=2β；

（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，

如图1

设∠ABC=x，∠ADE=y，

∴∠ACB=x，∠ACE=y，

在△ABD中，x+α=β﹣y，

在△DEC中，x+y+β=180°，

∴α=2β﹣180°，

②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，

如图2，同①的方法可得α=180°﹣2β．