Question

若x₁、x₂是关于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁＋x₂＝－，x₁•x₂＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x₁－x₂|＝＝＝＝；

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x₁，0)，B(x₂，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

(1)当△ABC为直角三角形时，求b²－4ac的值；

(2)当△ABC为等边三角形时，求b²－4ac的值．

Answer 1

考点：

抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。

分析：

(1)当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB＝，根据顶点坐标公式，得到CE＝||＝，列出方程，解方程即可求出b²－4ac的值；

(2)当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝AE＝，据此列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值．

解答：

解：(1)当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．

∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b²－4ac＞0，则|b²－4ac|＝b²－4ac．

∵a＞0，∴AB＝，

又∵CE＝||＝，

∴，

∴，

∴，

∵b²－4ac＞0，

∴b²－4ac＝4；

(2)当△ABC为等边三角形时，

由(1)可知CE＝，

∴，

∵b²－4ac＞0，

∴b²－4ac＝12．

点评：

本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．