练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    1．若将平行四边形纸片ABCD按如图1所示方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时很容易证得：△AEF是等腰三角形．
    （1）若将矩形纸片ABCD按上述方式折叠，如图2．试探究：重叠部分△AEF如果恰好是等边三角形，这时矩形ABCD的长、宽之比应是多少？证明你的结论；
    （2）如图3，沿EF折叠矩形ABCD，使B点落在AD边上的B′处；沿B′G折叠，使D点落在D′处，且B′D′过F点． 四边形B′EFG是什么特殊四边形？证明你的结论．
    （3）在图3中连接BB′，试判断并证明△BB′G的形状．

    分析 （1）矩形ABCD的长、宽之比应是$\sqrt{3}$．设BE=a，根据等边三角形的性质可得出∠EAF=60°，根据矩形的性质可得出∠BAD=∠ABE=90°，∠BAE=30°，再根据特殊角的三角函数值即可得出AE=2a，AB=$\sqrt{3}$a，结合边与边之间的关系即可得出$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$；
    （2）四边形B′EFG是平行四边形．根据矩形的性质可得出AD∥BC，从而得出相等的内错角“∠B′EF=∠BFE，∠EB′F=∠GFB′，∠DB′G=∠FGB”，再由翻折的性质可得出∠BFE=∠B′FE，∠DB′G=∠FB′G，由此即可得出∠B′FE=∠FB′G，从而找出B′E∥FG，由两组对边互相平行即可证出四边形B′EFG是平行四边形；
    （3）△BB′G为直角三角形．连接BB′交EF于点M，根据平行线的性质可得出∠EB′B=∠FBB′，由翻折的性质可得出BF=B′F，从而可得出∠EB′B=∠FB′B，再由等腰三角形的性质可得出∠BMF=90°，根据平行线的性质即可得出∠BB′G=∠BMF=90°，由此即可证出△BB′G为直角三角形．

    解答 解：（1）矩形ABCD的长、宽之比应是$\sqrt{3}$．
    证明：设BE=a，
    ∵△AEF等边三角形，
    ∴∠EAF=60°，
    ∵四边形ABCD为矩形，
    ∴∠BAD=∠ABE=90°，∠BAE=∠BAD-∠EAF=30°．
    在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠BAE=30°，BE=a，
    ∴AE=$\frac{BE}{sin∠BAE}$=2a，AB=$\frac{BE}{tan∠BAE}$=$\sqrt{3}$a，
    ∵AE=EC，
    ∴BC=BE+EC=3a，
    ∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3a}{\sqrt{3}a}$=$\sqrt{3}$．
    （2）四边形B′EFG是平行四边形．
    证明：∵四边形ABCD为矩形，
    ∴AD∥BC，
    ∴∠B′EF=∠BFE，∠EB′F=∠GFB′，∠DB′G=∠FGB′．
    由翻折的特性可知：∠BFE=∠B′FE，∠DB′G=∠FB′G，
    ∴∠B′EF=∠B′FE，∠FB′G=∠FGB′，
    又∵∠EB′F=∠GFB′，
    ∴∠B′FE=∠FB′G，
    ∴EF∥B′G，
    又∵B′E∥FG，
    ∴四边形B′EFG是平行四边形．
    （3）△BB′G为直角三角形．
    证明：连接BB′交EF于点M，如图所示．

    ∵AD∥BC，
    ∴∠EB′B=∠FBB′，
    ∵BF=B′F，
    ∴∠FBB′=∠FB′B，
    ∴∠EB′B=∠FB′B．
    ∵∠B′EF=∠B′FE，
    ∴△B′EF为等腰三角形，
    ∴B′M⊥EF，
    ∴∠BMF=90°．
    ∵EF∥B′G，
    ∴∠BB′G=∠BMF=90°，
    ∴△BB′G为直角三角形．

    点评 本题考查了翻折变换、平行线的性质、平行四边形的判定定理、特殊角的三角函数值、矩形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）求出$\frac{BC}{AB}$的值；（2）证出EF∥B′G；（3）证出∠BB′G=∠BMF=90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等的角是关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

    （1）探究1：小强看到图后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等，考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM（图1）后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程．
    （2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
    （3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    5．下表是博文学校初三•一班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩（单位：分）．
    慧慧116124130126121127126122125123
    聪聪122124125128119120121128114119
    回答下列问题：
    （1）分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数；
    （2）分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差；
    （3）根据（1）（2）你认为选谁参加全国数学竞赛更合适？并说明理由；
    （4）由于初三•二班、初三•三班和初三•四班数学成绩相对薄弱，学校打算派慧慧和聪聪分别参加三个班的数学业余辅导活动，求两名学生分别在初三•二班和初三•三班的概率．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    2．若一组数据3，x，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为（　　）
    A．3B．4C．5D．6

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．计算：${（π-5）^0}+\sqrt{2}cos45°-|{-3}|+{（\frac{1}{2}）^{-1}}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    6．若$x-\frac{1}{x}=5$，则${（x+\frac{1}{x}）^2}$=29•

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    13．能使等式$\sqrt{\frac{x}{x-3}}$=$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-3}}$成立的条件是（　　）
    A．x＞0B．x≥3C．x≥0D．x＞3

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    10．将下列各数填入适当的括号内（填编号即可） ①3.14，②5，③-3，④$\frac{3}{4}$，⑤8.9，⑥$-\frac{6}{7}$，⑦-314，
    ⑧0，⑨$2\frac{3}{5}$
    （1）整数集合 {                           …}
    （2）分数集合  {                          …}
    （3）正整数集合{                          …}．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    11．“这三个数-7，12，-2的代数和”与“它们的绝对值的和”的差为（　　）
    A．-18B．-6C．6D．18

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案